(ФГБОУ ВО ГАГУ, ГАГУ, Горно-Алтайский государственный университет) 

01.03.01 Математика

(<Курс>.<Семестр на курсе>)

Зав. кафедрой И. о. зав. кафедрой: Богданова Рада Александровна

Зав. кафедрой И. о. зав. кафедрой: Богданова Рада Александровна

исполнения в 2028-2029 учебном году на заседании кафедры

Зав. кафедрой И. о. зав. кафедрой: Богданова Рада Александровна

исполнения в 2027-2028 учебном году на заседании кафедры

Зав. кафедрой И. о. зав. кафедрой: Богданова Рада Александровна

исполнения в 2026-2027 учебном году на заседании кафедры

Зав. кафедрой И. о. зав. кафедрой: Богданова Рада Александровна

исполнения в 2025-2026 учебном году на заседании кафедры

- создание математической базы для дальнейшего обучения математике;

- совершенствование навыков математического и логического мышления.

ции

ракт.

2. Фонд оценочных средств включает: перечень вопросов для текущего контроля успеваемости;  контрольные работы по дисциплине; вопросы к зачету.

по дисциплине «Геометрия многообразий»

направление подготовки 01.03.01 Математика, профиль математика

Вид теста «Множественный выбор»

Формулировка вопроса

01. Какой аксиомы нет на проективной плоскости?

Варианты ответа:

1. Через две различные точки проходит единственная прямая;

2.  На каждой прямой лежит не менее трех точек;

3. Если точка С лежит между А и В, то она лежит и между В и А.

4. Любые две прямые пересекаются в одной точке.

Ключ:  3. Если точка С лежит между А и В, то она лежит и между В и А.

Формулировка вопроса

02. Какой аксиомы нет в проективном пространстве?

Варианты ответа:

1. Две плоскости в пространстве пересекаются по прямой.

2. Если прямая не лежит в плоскости, то она либо пересекает ее в точке, либо не пересекает эту плоскость.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

4. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Ключ:  2. Если прямая не лежит в плоскости, то она либо пересекает ее в точке, либо не пересе-кает эту плоскость.

Формулировка вопроса

03. Проективное отображение прямой на прямую будет перспективным, если:

Варианты ответа:

1. Оно преобразует точку пересечения прямых в себя.

2. Оно преобразует прямую в параллельную ей прямую.

3. Оно преобразует прямую в перпендикулярную ей прямую.

4. Оно оставляет прямую неподвижной.

Ключ:  1. Оно преобразует точку пересечения прямых в себя.

Формулировка вопроса

04. Проективное отображение пучка на пучок будет перспективным, если:

Варианты ответа:

1. Точки пересечения образов и прообразов лежат на овальной кривой.

2. Общая прямая пучков переходит в себя.

3. Образы прямых не пересекаются с их прообразами.

4. Общая прямая пучков переходит в перпендикулярную ей прямую.

Ключ: 2. Общая прямая пучков переходит в себя

Формулировка вопроса

05. Уравнение прямой на проективной плоскости имеет вид:

Варианты ответа:

1. ах12 + bx22 + cx32 =0

2. ax + by + c = 0

3.   x1x2 + x1x3 + x3x2 = 0

4. ax1 +bx2 + cx3 = 0

Ключ:  4. ax1 +bx2 + cx3 = 0

Формулировка вопроса

06. Четверка точек А, В, С, D на прямой будет гармонической, если:

Варианты ответа:

1. сложное отношение (АВ, СD) = –1

2. сложное отношение (АВ, СD) = 1

3. сложное отношение (АВ, СD) = 0

4. сложное отношение (АВ, СD) = 2

Ключ:  1. сложное отношение (АВ, СD) = –1

Формулировка вопроса

07. На проективной плоскости даны точки А(1: –2: 1), В(0: –1: 1), С(1: 0: –1), D(1: –1: 0), лежа-щие на одной прямой. Тогда их сложное отношение (АВ, СD) равно:

Варианты ответа:

1. (АВ, СD) = –1

2. (АВ, СD) = 1

3. (АВ, СD) = 2

4. (АВ, СD) = 3

Ключ:  3. (АВ, СD) = 2

Формулировка вопроса

08. На проективной плоскости даны четыре прямые, принадлежащие одному пучку:

а: 2х1 – х2 – х3 = 0;  b: х1 + 3х2 + х3 = 0;  с: 5х1 + х2 – х3 = 0;  d: 13х1 – 3х2 – 5х3 = 0. Найти сложное отношение этой четверки прямых.

Варианты ответа:

1.(ab,cd) = –2

2.(ab,cd) = –1

3. (ab,cd) = 2

4. (ab,cd) = 3

Ключ: 4. (ab,cd) = 3

Формулировка вопроса

09. На проективной плоскости даны три точки А(–1: 2: 1), В(3: 0: 1), С(5: –1: 1), лежащие на од-ной прямой. Найти на этой прямой точку D, такую, что (AD,CB)= –5.

Варианты ответа:

1. D(5: –12: 3)

2. D(9: –10: 23)

3. D(59: –10: 13)

4. D(47: –15: 13)

Ключ:  3. D(59: –10: 13)

Формулировка вопроса

10. На проективной плоскости даны три прямые, принадлежащие одному пучку:

а: 2х1 – 5х2 – 3х3 = 0;  b: х1 + 3х2 + х3 = 0;  с: 5х1 + х2 – х3 = 0. Найти уравнение четвертой гармо-нической прямой d в этом пучке, такой, что (ab,cd) = –1.

Варианты ответа:

1.  d: 3х1 – х2 – х3 = 0

2.  d: х1 – 4х2 –5 х3 = 0

3.  d: 3х1 – 2х2 –7 х3 = 0

4.  d: 7х1 – 4х2 –6 х3 = 0

Ключ: 1.  d: 3х1 – х2 – х3 = 0

Критерии оценки

Критерии Оценка (баллы по МРС), уровень

Обучающийся обнаружил всестороннее, систематическое и глубокое знание учебно-программного материала, умение свободно выполнять задания, предусмотренные программой, усвоил основную литературу и знаком с дополнительной литературой, рекомендованной программой дисциплины, усвоил взаимосвязь основных понятий дисциплины в их значении для приобретаемой профессии, проявил творческие способности в понимании, изложении и использовании учебно-программного материала. «отлично», 84-100%,

повышенный уровень

Обучающийся обнаружил полное знание учебно-программного материала, успешно выполнил предусмотренные программой задания, усвоил основную литературу, рекомендованную программой дисциплины, показал систематический характер знаний по дисциплине. При защите студент представляет грамотное изложение учебного материала по существу; отсутствуют существенные неточности в формулировании понятий и определений;  допускает  отдельные  неточности и  пробелы  в  знаниях  и (или) при решении задачи допущены незначительные ошибки, приведшие к неверному ответу. «хорошо», 66-83%,

пороговый уровень

Обучающийся обнаружил знание основного учебно-программного материала в объеме, необходимом для дальнейшей учебы и предстоящей работы по профессии, справился с выполнением заданий, предусмотренных программой, знаком с основной литературой, рекомендованной программой дисциплины, допускает неточности, непоследовательность в изложении материала, затрудняется применить знания  к решению задачи, но обладает необходимыми знаниями для их устранения под руководством. «удовлетворительно»,

50-65%, пороговый уровень

Обучающийся обнаружил значительные пробелы в знаниях основного учебно-программного материала, допустил принципиальные ошибки в выполнении предусмотренных программой заданий На защите курсовой работы студент не 

менее 50%,

уровень не сформирован

Комплект заданий для контрольной работы

Вариант I

1. Найти  точку  пересечения  прямой  х1 – 2х2 + 3х3  = 0 с полярой точки  М (2,1,-3) относительно квадрики

х12 – х22 + 2х32 + 4х1х2 – 2х2х3 = 0

2. Овальная кривая задана пятью точками.  Построить еще одну точку кривой.

3. Овальная кривая задана тремя касательными и двумя точками касания на них. Построить еще одну касательную.

Вариант 2

1. Найти уравнение прямой,  проходящей  через точку   М(1, -2, 3) и полюс прямой 2х1 + х2 – 3х3 = 0 относительно квадрики х12 – х22 + 2х32 + + 4х1х2 – 2х2х3 = 0

2. Овальная кривая задана четырьмя точками и касательной в одной из них. Построить еще одну точку кривой.

3. Овальная кривая задана четырьмя касательными и точкой касания одной из них. Построить еще одну касательную.

Вариант 3

1. Найти точку пересечения поляр точек  А(-2, 4, 1)   и   В(1, 2, 2)  относительно квадрики

х12 + 2х22 - х32 + 4х1х2 – 2х2х3 + 6х1х3 = 0

2. Овальная кривая задана тремя точками и касательными в двух из них. Построить еще одну точку кривой.

3. Овальная кривая дана четырьмя касательными и точкой касания одной из них. Построить еще одну точку касания.

Вариант 4

1. Найти  уравнение  прямой,  проходящей  через  полюсы прямых   2х1 –4х2 – х3 = 0       и      х1 + 2х2 + 2х3 = 0 относительно квадрики  

х12 + 2х22 – х32 + 4х1х2 – 2х2х3 + 6х1х3 = 0

2. Овальная кривая задана пятью точками . Построить касательную в одной из них.

3. Овальная кривая задана пятью  касательными.  Построить  точку касания одной из них.

Вариант 5

1. Найти уравнение прямой,  проходящей  через точку   М(1, -2, 3) и полюс прямой 2х1 + х2 – 3х3 = 0 относительно квадрики х12 – х22 + 2х32 + + 4х1х2 – 2х2х3 = 0

2. Овальная кривая задана четырьмя точками и касательной в одной из них. Построить еще одну точку кривой.

3. Овальная кривая задана четырьмя касательными и точкой касания одной из них. Построить еще одну касательную.

Критерии оценки контрольной работы

Критерии Оценка (баллы по МРС), уровень

Правильно выполнены все задания. Продемонстрирован высокий уровень владения материалом. Проявлены превосходные способности применять знания и умения к выполнению конкретных заданий. «отлично», 84-100%,

повышенный уровень

Правильно выполнена большая часть заданий. Присутствуют незначительные ошибки. Продемонстрирован хороший уро-вень владения материалом. Проявлены средние способности применять знания и умения к выполнению конкретных зада-ний. «хорошо», 66-83%,

пороговый уровень

Задания выполнены более чем наполовину. Присутствуют серьёзные ошибки. Продемонстрирован удовлетворительный уровень владения материалом. Проявлены низкие способно-сти применять знания и умения к выполнению конкретных заданий. «удовлетворительно»,

50-65%, пороговый уровень

Задания выполнены менее чем наполовину. Продемонстрирован неудовлетворительный уровень владения материалом. Проявлены недостаточные способности применять знания и умения к выполнению конкретных заданий.

«неудовлетворительно»,

менее 50%,

уровень не сформирован

Аксиомы  n-мерного проективного пространства. Проективная прямая. Построение точки по координатам на прямой.

Проективные координаты на плоскости. Построение точки по координатам на плоскости

Уравнение прямой на проективной плоскости

Теорема Дезарга и ее применение в построениях с недоступными точками

Перспективные отображения

Разложение проективного отображения в произведение перспективных

Проективное отображение прямой на прямую. Построение образов точек.

Проективное отображение пучка на пучок. Построение образов прямых

Проективные преобразования.

Двойное отношение четверки точек на прямой.

Гармонические четверки точек и прямых

Полный четырехвершинник. Построение четвертой гармонической точки

Гомология и родство.

Квадрики и их классификация

Теорема Штейнера

Теорема Паскаля.

Теорема Брианшона

Критерии оценки зачета

Оценка Зачтено выставляется студенту, если он:

1. Раскрыл содержание материала в объёме программы.

2. Чётко и правильно дал определения и раскрыл их содержание.

3. Провёл доказательство на основе математических выкладок или при ответе допустил неточности, нарушил последовательность изложения.  Допустил небольшие неточности при выводах и использовании терминов.

4. Дал ответ самостоятельно или с помощью наводящих вопросов, при ответе использовал знания, приобретённые ранее.

5. Имеет практические навыки решения задач.

     Оценка  Не зачтено  выставляется студенту, если он:

1. Не раскрыл основное содержание учебного материала.

2. Не дал ответы на дополнительные вопросы преподавателя.

3. Допускает грубые ошибки в определениях, не может провести доказательство теорем и утверждений. Не имеет практических навыков в использовании материала

Лекции, с одной стороны – это одна из основных форм учебных занятий в высших учебных заведениях, представляющая собой систематическое, последовательное устное изложение преподавателем определенного раздела конкретной науки или учебной дисциплины, с другой – это особая форма самостоятельной работы с учебным материалом. Лекция не заменяет собой книгу, она только подталкивает к ней, раскрывая тему, проблему, выделяя главное, существенное, на что следует обратить внимание, указывает пути, которым нужно следовать, добиваясь глубокого понимания поставленной проблемы, а не общей картины.

Работа на лекции – это сложный процесс, который включает в себя такие элементы как слушание, осмысление и собственно конспектирование. Для того, чтобы лекция выполнила свое назначение, важно подготовиться к ней и ее записи еще до прихода преподавателя в аудиторию. Без этого дальнейшее восприятие лекции становится сложным. Лекция в университете рассчитана на подготовленную аудиторию. Преподаватель излагает любой вопрос, ориентируясь на те знания, которые должны быть у студентов, усвоивших материал всех предыдущих лекций.Важно научиться слушать преподавателя во время лекции, поддерживать непрерывное внимание к выступающему.

Однако, одного слушания недостаточно. Необходимо фиксировать, записывать тот поток информации, который сообщается во время лекции – научиться вести конспект лекции, где формулировались бы наиболее важные моменты, основные положения, излагаемые лектором. Для ведения конспекта лекции следует использовать тетрадь. Ведение конспекта на листочках не рекомендуется, поскольку они не так удобны в использовании и часто теряются. При оформлении конспекта лекции необходимо оставлять поля, где студент может записать свои собственные мысли, возникающие параллельно с мыслями, высказанными лектором, а также вопросы, которые могут возникнуть в процессе слушания, чтобы получить на них ответы при самостоятельной проработке материала лекции, при изучении рекомендованной литературы или непосредственно у преподавателя в конце лекции. Составляя конспект лекции, следует оставлять значительный интервал между строчками. Это связано с тем, что иногда возникает необходимость вписать в первоначальный текст лекции одну или несколько строчек, имеющих принципиальное значение и почерпнутых из других источников. Расстояние между строками необходимо также для подчеркивания слов или целых групп слов (такое подчеркивание вызывается необходимостью привлечь внимание к данному месту в тексте при повторном чтении). Обычно подчеркивают определения, выводы.

Семинарские (практические) занятия Самостоятельная работа студентов по подготовке к семинарскому (практическому) занятию должна начинаться с ознакомления с планом семинарского (практического) занятия, который включает в себя вопросы, выносимые на обсуждение, рекомендации по подготовке к семинару (практическому занятию), рекомендуемую литературу к теме. Изучение материала следует начать с просмотра конспектов лекций. Восстановив в памяти материал, студент приводит в систему основные положения темы, вопросы темы, выделяя в ней главное и новое, на что обращалось внимание в лекции. Затем следует внимательно прочитать соответствующую главу учебника.

Для более углубленного изучения вопросов рекомендуется конспектирование основной и дополнительной литературы. Читая рекомендованную литературу, не стоит пассивно принимать к сведению все написанное, следует анализировать текст, думать над ним, этому способствуют записи по ходу чтения, которые превращают чтение в процесс. Записи могут вестись в различной форме: развернутых и простых планов, выписок (тезисов), аннотаций и конспектов.

Подобрав, отработав материал и усвоив его, студент должен начать непосредственную подготовку своего выступления на семинарском (практическом) занятии для чего следует продумать, как ответить на каждый вопрос темы.

По каждому вопросу плана занятий необходимо подготовиться к устному сообщению (5-10 мин.), быть готовым принять участие в обсуждении и дополнении докладов и сообщений (до 5 мин.).

Выступление на семинарском (практическом) занятии должно удовлетворять следующим требованиям: в нем излагаются теоретические подходы к рассматриваемому вопросу, дается анализ принципов, законов, понятий и категорий; теоретические положения подкрепляются фактами, примерами, выступление должно быть аргументированным.

Лабораторные работы являются основными видами учебных занятий, направленными на экспериментальное (практическое) подтверждение теоретических положений и формирование общепрофессиональных и профессиональных компетенций. Они составляют важную часть теоретической и профессиональной практической подготовки.

В процессе лабораторной работы как вида учебного занятия студенты выполняют одно или несколько заданий  под руководством преподавателя в соответствии с изучаемым содержанием учебного материала.  

При выполнении обучающимися лабораторных работ значимым компонентом становятся практические задания с использованием компьютерной техники, лабораторно - приборного оборудования и др. Выполнение студентами лабораторных работ проводится с целью: формирования умений, практического опыта (в соответствии с требованиями к результатам освоения дисциплины, и на основании перечня формируемых компетенций, установленными рабочей программой дисциплины), обобщения, систематизации, углубления, закрепления полученных теоретических знаний, совершенствования умений применять полученные знания на практике.

Состав заданий для лабораторной работы должен быть спланирован с расчетом, чтобы за отведенное время они могли быть выполнены качественно большинством студентов.

При планировании лабораторных работ следует учитывать, что в ходе выполнения заданий у студентов формируются умения и практический опыт работы с различными приборами, установками, лабораторным оборудованием, аппаратурой, программами и др., которые могут составлять часть профессиональной практической подготовки, а также исследовательские умения (наблюдать, сравнивать, анализировать, устанавливать зависимости, делать выводы и обобщения, самостоятельно вести исследование, оформлять результаты).

Выполнению лабораторных работ предшествует проверка знаний студентов - их теоретической готовности к выполнению задания.

Формы организации студентов при проведении лабораторных работ: фронтальная, групповая и индивидуальная. При фронтальной форме организации занятий все студенты выполняют одновременно одну и ту же работу. При групповой форме организации занятий одна и та же работа выполняется группами по 2 - 5 человек. При индивидуальной форме организации занятий каждый студент выполняет индивидуальное задание.  

Текущий контроль учебных достижений по результатам выполнения лабораторных работ проводится в соответствии с системой оценивания (рейтинговой, накопительной и др.), а также формами и методами (как традиционными, так и инновационными, включая компьютерные технологии), указанными в рабочей программе дисциплины (модуля). Текущий контроль проводится в пределах учебного времени, отведенного рабочим учебным планом на освоение дисциплины, результаты заносятся в журнал учебных занятий.

Объем времени, отводимый на выполнение лабораторных работ, планируется в соответствии с учебным планом ОПОП.

Перечень лабораторных работ в РПД, а также количество часов на их проведение должны обеспечивать реализацию требований к знаниям, умениям и практическому опыту студента по дисциплине (модулю) соответствующей ОПОП.

Самостоятельная работа обучающихся– это планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская  работа, выполняемая во внеаудиторное время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия.

Объем самостоятельной работы определяется учебным планом основной профессиональной образовательнойпрограммы (ОПОП), рабочей программой дисциплины (модуля).

Самостоятельная работа организуется и проводится с целью формирования компетенций, понимаемых как способность применять знания, умения и личностные качества для успешной практической деятельности, в том числе:

- формирования умений по поиску и использованию нормативной, правовой, справочной и специальной литературы, а также других источников информации;

- качественного освоения и систематизации полученных теоретических знаний, их углубления и расширения по применению на уровне межпредметных связей;

- формирования умения применять полученные знания на практике (в профессиональной деятельности) и закрепления практических умений обучающихся;

- развития познавательных способностей, формирования самостоятельности мышления обучающихся;

- совершенствования речевых способностей обучающихся;

- формирования способностей к саморазвитию (самопознанию, самоопределению, самообразованию, самосовершенствованию, самореализации и саморегуляции);

- развития научно-исследовательских навыков;

- развития навыков межличностных отношений.

К самостоятельной работе по дисциплине (модулю) относятся: проработка теоретического материала дисциплины (модуля);подготовка к семинарским и практическим занятиям, в т.ч. подготовка к текущему контролю успеваемости обучающихся(текущая аттестация); подготовка к лабораторным работам; подготовка к промежуточной аттестации (зачётам, экзаменам).

Виды, формы и объемы самостоятельной работы обучающихсяпри изучении дисциплины (модуля) определяются:

- содержанием компетенций, формируемых дисциплиной (модулем);

- спецификой дисциплины (модуля), применяемыми образовательными технологиями;

- трудоемкостью СР, предусмотренной учебным планом;

- уровнем высшего образования (бакалавриат, специалитет, магистратура, аспирантура), на котором реализуется ОПОП;

- степенью подготовленности обучающихся.

Курсовая работа является самостоятельным творческим письменным научным видом деятельности студента по разработке конкретной темы. Она отражает приобретенные студентом теоретические знания и практические навыки. Курсовая работа выполняется студентом самостоятельно под руководством преподавателя.

Курсовая работа, наряду с экзаменами и зачетами, является одной из форм контроля (аттестации), позволяющей определить степень подготовленности будущего специалиста. Курсовые работы защищаются студентами по окончании изучения указанных дисциплин, определенных учебным планом.

Оформление работы должно соответствовать требованиям. Объем курсовой работы: 25–30 страниц. Список литературы и Приложения в объем работы не входят. Курсовая работа должна содержать: титульный лист, содержание, введение, основную часть, заключение, список литературы, приложение (при необходимости). Курсовая работа подлежит рецензированию руководителем курсовой работы. Рецензия является официальным документом и прикладывается к курсовой работе.

Тематика курсовых работ разрабатывается в соответствии с учебным планом. Руководитель курсовой работы лишь помогает студенту определить основные направления работы, очертить её контуры, указывает те источники, на которые следует обратить главное внимание, разъясняет, где отыскать необходимые книги.

Составленный список источников научной информации, подлежащий изучению, следует показать руководителю курсовой работы.

Курсовая работа состоит из глав и параграфов.  Вне зависимости от решаемых задач и выбранных подходов структура работы должна содержать: титульный лист, содержание, введение, основную часть; заключение; список литературы; приложение(я).

Во введении необходимо отразить:  актуальность; объект; предмет; цель;  задачи;  методы исследования;  структура работы.

Основную часть работы рекомендуется разделить на 2 главы, каждая из которых должна включать от двух до четырех параграфов.

Содержание глав и их структура зависит от темы и анализируемого материала.

Первая глава должна иметь обзорно–аналитический характер и, как правило, является теоретической.

Вторая глава по большей части раскрывает насколько это возможно предмет исследования. В ней приводятся практические данные по проблематике темы исследования.

Выводы оформляются в виде некоторого количества пронумерованных абзацев, что придает необходимую стройность изложению изученного материала. В них подводится итог проведённой работы, непосредственно выводы, вытекающие из всей работы и соответствующие выявленным проблемам, поставленным во введении задачам работы; указывается, с какими трудностями пришлось столкнуться в ходе исследования.

Правила написания и оформления курсовой работы регламентируются Положением о курсовой работе (проекте), утвержденным решением Ученого совета ФГБОУ ВО ГАГУ от 27 апреля 2017 г.