(ФГБОУ ВО ГАГУ, ГАГУ, Горно-Алтайский государственный университет)
02.03.01 Математика и компьютерные науки
(<Курс>.<Семестр на курсе>)
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2028-2029 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2027-2028 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2026-2027 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2025-2026 учебном году на заседании кафедры
- формирование культуры мышления, умения демонстрировать базовые знания математического анализа, и приобретать новые научные и профессиональные знания по математическому анализу;
- формирование навыков анализа фундаментальных и прикладных теорий, концепций, фактов, а также построения математических моделей изучаемых процессов с помощью методов математического анализа.
Владеет способностью рефлексии по поводу собственной и чужой мыслительной деятельности.
ции
ракт.
2. Фонд оценочных средств включает контрольные материалы для проведения текущего контроля в форме вопросов к экзамену, тестов, коллоквиумов, индивидуальных заданий и контрольных работ.
1) Множества и операции над ними. Предельные точки, точки прикосновения, внутренние и изолированные точки.
2) Понятие функций, способы задания функций, классификация функций.
3) Свойства счетных и несчетных множеств. Теорема о счетности множества Q.
4) Несчетность отрезка [0;1]
5) Теорема Кантора-Бернштейна о мощности множества подмножеств.
6) Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши-Кантора).
7) Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега).
8) Модуль действительного числа, свойства модуля.
9) Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани множества, их свойства. Принцип Архимеда.
10) Предел последовательности. Геометрический смысл. Общие свойства. Арифметические операции над пределами.
11) Критерий Коши сходимости последовательности.
12) Теорема об единственности предела последовательности..
13) Переход к пределу в неравенствах.
14) Ограниченные последовательности. Теорема Вейерштрасса для монотонной последовательности.
15) Теорема Больцано-Вейерштрасса для ограниченной последовательности.
16) Бесконечно-малые и бесконечно-большие последовательности, связь между ними. Особо важная теорема.
17) Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
18) Число e как предел последовательности.
19) Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши, их равносильность.
20) Различные определения непрерывности функции в точке, их равносильность. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных функций.
21) Односторонняя непрерывность. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.
22) Свойства функций, непрерывных на отрезке. Первая теорема Больцано-Коши.
23) Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса.
24) Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
25) Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
26) Бесконечно-малые функции, теоремы о бесконечно малых функциях
27) Сравнение бесконечно малых функций. Символы "о малое" и "О большое". Эквивалентные бесконечно малые.
28) Первый замечательный предел.
29) Второй замечательный предел.
30) Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных.
31) Правила дифференцирования. Дифференцируемость суммы, произведения и частного дифференцируемых функций.
32) Определение дифференцируемой функции. Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
33) Производная сложной и обратной функций.
34) Производная функции, степенью которой является функция.
35) Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциал в приближенных вычислениях.
36) Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
37) Производные высших порядков, формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков.
38) Теорема Ферма.
39) Теорема Ролля.
40) Теорема Лагранжа.
41) Теорема Коши.
42) Правила Лопиталя.
43) Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.
44) Исследование функций на монотонность.
45) Исследование функций на экстремум
46) Исследование функций на выпуклость и в точке перегиба.
47) Асимптоты.
48) Полное исследование функций и построение графиков.
Перечень вопросов к экзамену 2 семестр
1) Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
2) Теорема о множестве всех первообразных.
3) Свойства неопределенного интеграла.
4) Таблица интегралов.
5) Метод интегрирования путем подведения к табличным интегралам.
6) Теорема о замене переменной.
7) Метод подведения под знак дифференциала.
8) Теорема об интегрировании по частям.
9) Метод интегрирования по частям.
10) Циклические интегралы. Рекуррентная формула.
11) Интегрирование различных видов простейших дробей.
12) Интегрирование правильных дробей.
13) Интегрирование рациональных функций (в том числе неправильных дробей).
14) Метод неопределенных коэффициентов.
15) Интегрирование простейших иррациональностей.
16) Интегрирование иррациональных функций.
17) Подстановки Эйлера.
18) Биномиальные дифференциалы.
19) Интегрирование тригонометрических функций.
20) Понятие определенного интеграла. Необходимый признак интегрируемости.
21) Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости функций.
22) Классы интегрируемых функций.
23) Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами.
24) Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами.
25) Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.
26) Формула Ньютона-Лейбница.
27) Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
28) Квадрируемые фигуры. Критерий квадрируемости.
29) Площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат и при параметрическом задании кривой.
30) Площадь плоской фигуры в полярной системе координат.
31) Вычисление объемов тел.
32) Функции ограниченной вариации и их свойства.
33) Длина дуги в прямоугольной системе координат.
34) Длина дуги при параметрическом задании кривой и в полярной системе координат.
35) Площадь поверхности тел вращения.
36) Физическое применение определенного интеграла.
37) Интеграл Стилтьеса.
38) Несобственные интегралы 1 рода.
39) Несобственные интегралы 2 рода.
40) Основные понятия темы «Числовые ряды»
42) Основные свойства числовых рядов
43) Необходимый признак сходимости
44) Гармонический и обобщенный гармонический ряды
45) Критерий Коши сходимости числового ряда
46) Критерий Даламбера сходимости знакоположительного ряда
47) Неравенства Гельдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм.
48) Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
49) Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
50) Функциональные последовательности и ряды.
51) Равномерная сходимость функционального ряда
52) Свойства суммы функционального ряда.
53) Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.
54) Разложение в ряд Тейлора показательной функции.
55) Разложение в ряд Тейлора функций y=sin x, y=cos x.
56) Разложение в ряд Тейлора биномиальной функции.
57) Разложение в ряд Тейлора логарифмической функции.
58) Разложение в ряд Тейлора обратных тригонометрических функций.
Перечень вопросов к экзамену 3 семестр
1. Аксиомы метрического пространства. Нормированные пространства, основные примеры метрических пространств.
2. Шары. Сферы. Окрестности. Свойства окрестностей.
3. Внутренние точки, точки прикосновения, внутренность, замыкание.
4. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах, свойства открытых и замкнутых множеств.
5. Топологические пространства. Примеры топологий.
6. Непрерывные отображения в топологических пространствах. Эквивалентность различных определений. Гомеоморфизмы.
7. Покрытия. Центрированные системы. Эквивалентность двух определений компактности.
8. Свойства компактных пространств:
8.1. замкнутость,
8.2. ограниченность в метрических пространствах,
8.3. замкнутое подмножество компакта,
8.4. полная ограниченность,
8.5. счетная компактность.
9. Свойства непрерывных функций на компакте:
9.1. непрерывный образ компакта,
9.2. существование максимума и минимума,
9.3. непрерывная биекция есть гомеоморфизм,
9.4. равномерная непрерывность (теорема Кантора).
10. Связные, линейно связные, локально связные и локально линейно связные пространства. Непрерывность и связность. Путь в топологическом пространстве X.
11. Полные метрические пространства. Фундаментальные последовательности. Теорема Банаха о неподвижной точке.
12. Скалярное произведение. Выражение нормы через скалярное произведение. Гильбертово пространство. Базис. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.
13. Теорема Вейерштрасса о плотности тригонометрических полиномов в и о плотности алгебраических многочленов в . Плотность тригонометрических полиномов в пространстве С[- .
14. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Стремление к нулю коэффициентов Фурье. Условия разложимости произвольного элемента в ряд Фурье. Критерии базиса для ОНС.
15. Тригонометрический ряд Фурье; сходимость в среднем, равенство Парсеваля. Ряды Фурье по синусам и ряды Фурье по косинусам на . Ряд Фурье в комплексной форме.
16. Тригонометрическая система в L2 [0,2]. Ортогональность ее векторов, разложение функции по тригонометрической системе. Другие виды базисов: разложение по синусам и косинусом. Формулы разложения в ряд Фурье для произвольного отрезка.
17. Теорема Римана. Стремление к нулю коэффициентов Фурье. Ядро Дирихле. Условие Дини и сходимость в точках разрыва. Суммы Фейера и ядро Фейера. Равномерная сходимость ряда Фурье.
18. Суммы Фейера и ядро Фейера. Равномерная сходимость ряда Фурье.
19. Частные производные и их геометрический смысл. Дифференцируемость ФНП. Необходимое условие. Достаточное условие. Геометрический смысл дифференцируемости (при ).
20. Дифференцируемость композиции функций. Инвариантность формы дифференциала.
21. Производная по направлению. Градиент.
22. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
23. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФНП.
25. Дифференцируемые отображения, производная, дифференциал. Матрица Якоби. Дифференцируемость отображения и его координат.
26. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие. Линейность операции дифференцирования.
27. Дифференцируемость композиции отображений. Дифференцируемость обратного отображения.
28. Неявные функции одной переменной. Теорема о неявной функции. Уравнение касательной плоскости.
29. Неявные отображения. Теорема о неявном отображении.
30. Теорема о ранге. Зависимость функций. Условие независимости функций.
31. Теорема об обратном отображении.
32. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа.
Перечень вопросов к экзамену 4 семестр
1. Несобственные интегралы. Равномерная сходимость, критерий равномерной сходимости.
2. Достаточные условия равномерной сходимости интегралов.
3. Предельный переход под знаком несобственного интеграла.
4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру.
5. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
6. B-функции и ее свойства (симметричность, формула понижения).
7. Г-функции и ее свойства:
7.1. формула производной,
7.2. формула дополнения,
7.3. формула Эйлера-Гаусса,
7.4. формула понижения.
8. Интегральная формула Фурье.
9. Мера Жордана, измеримые по Жордану множества.
10. Критерий измеримости.
11. Свойства измеримых множеств.
12. Понятие кратного интеграла.
13. Суммы Дарбу. Критерий существования интеграла.
14. Задачи, приводящие к двойному интегралу.
15. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства.
16. Сведение двойного интеграла к повторному.
17. Замена переменных в двойном интеграле.
18. Двойной интеграл в полярных координатах.
19. Некоторые приложения двойных интегралов:
19.1 Вычисление объема,
19.2 Вычисление площади,
19.3 Вычисление площади поверхности,
19.4 Вычисление массы пластинки.
20. Определение тройного интеграла, его геометрический смысл, свойства.
21. Вычисление тройных интегралов.
22. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
23. Приложения тройных интегралов.
24. Задача о работе плоского силового поля.
25. Криволинейный интеграл I рода.
26. Криволинейный интеграл II рода.
27. Связь между криволинейными интегралами I и II рода.
28. Формула Грина.
29. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
30. Интегрирование полных дифференциалов.
31. Приложения криволинейных интегралов II рода.
32. Поверхностные интегралы I типа.
33. Поверхностные интегралы II типа.
34. Формула Стокса.
35. Формула Остроградского.
36. Приложения поверхностных интегралов.
37. Векторное поле. Поток вектора через поверхность. Дивергенция, вихрь векторного поля. Скалярное поле.
Критерии оценки:
"Отлично": - студент знает формулировки определений и может привести
несколько примеров к каждому определению; - студент знает
формулировки всех утверждений и теорем; - студент знает план
доказательства всех утверждений и теорем, умеет при необходимости
провести подробное доказательство каждого пункта; - студент может
ответить на дополнительные вопросы по курсу без предварительной
"Хорошо": - студент знает формулировки определений и может привести
несколько примеров к каждому определению; - студент знает
формулировки всех утверждений и теорем; - студент знает план
доказательства всех утверждений и теорем, но испытывает
затруднения при подробном изложении некоторых пунктов
доказательства; - студент может ответить на дополнительные вопросы
по курсу без предварительной подготовки.
"Удовлетворительно": - студент знает формулировки определений и может привести пример к
каждому определению; - студент знает формулировки всех утверждений
и теорем; - студент может ответить на дополнительные вопросы по
курсу без предварительной подготовки.
"Неудовлетворительно": - студент не знает формулировки определений или не умеет приводить
примеры для них; - студент не знает формулировки основных
утверждений и теорем; - студент не может изложить ответ на
заданные вопросы.