(ФГБОУ ВО ГАГУ, ГАГУ, Горно-Алтайский государственный университет)
01.03.01 Математика
(<Курс>.<Семестр на курсе>)
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2028-2029 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2027-2028 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2026-2027 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Богданова Рада Александровна
исполнения в 2025-2026 учебном году на заседании кафедры
ции
ракт.
/Лек/
/Лек/
/Лек/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Лек/
/Лек/
/Лек/
/Лек/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
/Лек/
/Лек/
/Лек/
/Пр/
/Пр/
/Пр/
2. Фонд оценочных средств включает контрольные материалы для проведения текущего контроля в форме коллоквиумов, тестовых заданий, контрольных работ, тем для сообщений, докладов и вопросов к экзаменам.
1. Симметрические многочлены от x и y.
2. Симметрические многочлены от трех переменных.
3. Антисимметрические многочлены от трёх переменных.
4. Симметрические многочлены от нескольких переменных.
5. Норма и функции линейного оператора.
6. Линейные дифференциальные уравнения.
7. Выпуклые многогранники и линейное программирование.
8. Неотрицательные матрицы.
9. Геометрия Лобачевского.
10. Определение категории. Конкретные категории. Примеры.
11. Универсальные притягивающие и отталкивающие объекты. Произведение и копроизведение.
12. Определение функтора и естественного преобразования функторов. Примеры.
13. Пределы и копределы.
14. Категория функторов в Sets. Лемма Йонеды.
15. Сопряженность функторов. Сопряженность тензорного произведения и Hom.
16. Монады.
17. Аддитивные и абелевы категории.
18. Нормальные и сепарабельные расширения полей. Этальные алгебры.
19. Основная теорема теории Галуа.
20. Топология на абсолютной группе Галуа. Категорная формулировка основной теоремы теории Галуа.
21. Короткие и длинные точные последовательности. Лемма о змее.
22. Точность функторов слева и справа. Hom и тензорное произведение.
23. Проективные, инъективные и плоские модули.
24. Проективная и инъективная резольвента.
25. Функторы Ext и Tor. Вычисление в случае колец главных идеалов.
26. Определение когомологий групп. Бар-резольвента.
27. Категория комплексов. Гомотопии и квазиизоморфизмы.
28. Локализация категорий.
29. Понятие триангулированной категории.
30. Производная категория.
31. Конечные поля.
32. Квадратичные вычеты и закон взаимности.
33. Некоторые простые криптосистемы.
34. Шифрующие матрицы.
35. Суть криптографии с открытым ключом.
36. Криптосистема RSA.
37. Дискретное логарифмирование.
38. Задача о рюкзаке.
39. Протоколы с нулевым разглашением и скрытая передача.
40. Псевдопростые числа.
35. Ро-метод.
36. Факторизация Ферма и факторные базы.
37. Метод цепных дробей.
38. Метод квадратичного решета.
39. Криптосистемы на эллиптических кривых.
40. Критерий простоты, использующий эллиптические кривые.
41. Разложение на множители при помощи эллиптических кривых.
Критерии оценки:
«Отлично», повышенный уровень: системность, обстоятельность и глубина излагаемого материала; знакомство с научной и научно-популярной литературой, рекомендованной к докладу преподавателем; письменная форма доклада (от руки); способность воспроизвести основные тезисы доклада без помощи конспекта; способность быстро и развернуто отвечать на вопросы преподавателя и аудитории; способность докладчика привлечь внимание аудитории.
«Хорошо», пороговый уровень: развернутость и глубина излагаемого в докладе материала; знакомство с основной научной литературой к докладу; письменная форма доклада; при выступлении частое обращение к тексту доклада;
«Удовлетворительно», пороговый уровень: правильность основных положений доклада; наличие недостатка информации в докладе по целому ряду проблем; использование для подготовки доклада исключительно учебной литературы; неспособность ответить на несложные вопросы из аудитории и преподавателя; неумение воспроизвести основные положения доклада без письменного конспекта.
«Неудовлетворительно», уровень не сформирован: подготовка доклада в печатном виде с привлечением неизвестного информационного источника; поверхностный, неупорядоченный, бессистемный характер информации в докладе; при чтении доклада постоянное использование текста; выступление сбивчивое, с долгими паузами, монотонное; полное отсутствие внимания к докладу аудитории.
1. Логические операции, формулы, законы логики.
2. Предикаты и кванторы.
3. Виды теорем, методы их доказательств.
4. Бинарные соответствия, их свойства.
5. Бинарные отношения на множестве, их свойства.
6. N-арные операции на множествах, их свойства.
7. Группа, подгруппа, примеры.
8. Кольцо и поле, примеры.
9. Линейное пространство над полем.
10. Кольцо матриц над полем R.
11. Обратная матрица, алгоритм ее вычисления. Решение матричных уравнений.
12. Определитель квадратной матрицы, его свойства, вытекающие из определения, методы вычисления.
13. Теорема о числе решений системы линейных уравнений.
14. Методы решений системы линейных уравнений (Гаусса, Крамера, матричный).
15. Линейное пространство решений системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
16. Построение поля С.
17. Тригонометрическая форма комплексного числа, операции в этой форме.
18. Алгебраическая форма комплексного числа, операции в этой форме.
19. Отношение делимости в кольце Z, его свойства.
20. Алгоритм Евклида. НОД и НОК целых чисел, способы их вычисления.
21. Простые числа. Теорема Евклида и теорема об интервалах.
22. Основная теорема арифметики.
23. Кольцо многочленов от одной переменной.
24. Отношение делимости в кольце P[x], его свойства.
25. Приводимые и неприводимые многочлены в кольце P[x].
26. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители.
27. Корни многочлена, теорема Безу и следствия из нее. Схема Горнера.
28. Приводимость многочленов над полями Q, R и C.
29. Теорема о рациональных корнях многочлена.
30. Метод Кардано.
31. Метод Феррари.
32. Определение, примеры и свойства линейных пространств.
33. Подпространство линейного пространства. Критерий подпространства.
34. Линейная оболочка. Способы построения линейных подпространств.
35. Пересечение и сумма подпространств, основные свойства.
36. Прямая сумма подпространств.
37. Понятие линейного многообразия. Свойства линейных многообразий.
38. Линейная зависимость конечной системы векторов в арифметическом n-мерном векторном пространстве. Свойства линейной зависимости векторов.
39. Теорема о линейной зависимости системы, состоящей из более, чем n векторов в n-мерном векторном пространстве.
40. Основная теорема линейной зависимости в арифметическом n-мерном векторном пространстве.
41. Базис и ранг конечной системы векторов в арифметическом n-мерном векторном пространстве.
42. Теорема о базисах.
43. Конечномерное линейное векторное пространство, его база и размерность.
44. Теорема о дополнении линейно независимой системы векторов конечномерного пространства до базиса этого пространства.
45. Размерность векторного пространства. Свойство размерности.
46. Теорема о нахождении размерности векторного пространства через размерности подпространств и их пересечения.
47. Изоморфизм конечномерных линейных пространств. Свойства изоморфизма.
48. Изоморфизм произвольных n-мерных векторных пространств.
49. Координаты вектора в разных базисах арифметического n-мерного векторного пространства и их связь.
Вопросы к экзамену (2 семестр)
1. Скалярное произведение в линейном векторном пространстве. Евклидово пространство.
2. Норма вектора и ее свойства. Угол между двумя векторами.
3. Ортогональные системы векторов. Теорема об ортогональной системе ненулевых векторов. Ортогональный базис пространства.
4. Ортонормированный базис евклидова пространства. Теорема о существовании ортонормированного базиса.
5. Изоморфизм n-мерных евклидовых пространств.
6. Ортогональное дополнение подпространства. Теорема об ортогональном дополнении.
7. Теорема о прямой сумме подпространства и его ортогонального дополнения
8. Определение линейного оператора. Примеры. Матрица линейного оператора.
9. Образ, ранг, ядро и дефект линейного оператора. Теоремы о ядре и образе линейного оператора.
10. Теорема о связи размерностей линейного пространства, ядра и образа линейного оператора.
11. Действия над линейными операторами.
12. Пространство линейных операторов.
13. Связь между координатными столбцами вектора и его образа.
14. Матрицы суммы, произведения скаляра и линейного оператора, произведения линейных операторов.
15. Теоремы о биективности и об изоморфизме пространства линейных операторов линейному пространству квадратных матриц.
16. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.
17. Обратимые линейные операторы.
18. Инвариантные подпространства.
19. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Одномерные инвариантные подпространства.
20. Характеристический многочлен. Собственные подпространства векторного пространства.
21. Теорема о собственных векторах линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.
22. Условие приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду.
23. Понятие жордановой нормальной формы. Критерий приводимости матрицы к жордановой нормальной форме (ЖНФ) над произвольным полем.
24. Алгоритм нахождения жордановой нормальной формы (собственные значения матрицы и их кратность; количество и размер жордановых клеток; жорданов базис).
25. Функции от матриц. Алгоритм нахождения функции от матрицы.
26. Различные определения понятия «группа», их эквивалентность. Примеры групп.
27. Подгруппа, достаточные условия подгруппы. Примеры подгрупп.
28. Группа подстановок на конечном множестве, ее подгруппы. Разложение подстановок в независимые циклы и транспозиции.
29. Циклические группы. Примеры.
30. Теорема о циклических группах.
31. Порядок элемента, его связь с порядком циклической группы.
32. Разложение группы G по подгруппе H.
33. Теорема Лагранжа и ее следствие.
34. Нормальные подгруппы группы G, их свойства, примеры.
35. Факторгруппа, ее свойства, примеры факторгрупп.
36. Морфизмы групп, свойства, примеры.
37. Ядро и образ гомоморфизма, их связь с нормальными подгруппами.
38. Теорема о гомоморфизмах.
39. Теорема Кэли.
40. Действие группы G на множестве. Представление (реализация) группы G в группе S(M). Примеры.
41. Минимальная подгруппа, групповое замыкание.
42. G-орбиты элементов, стационарные подгруппы, примеры.
43. Коммутатор, коммутант группы G, его свойства.
44. Центр группы, его свойства.
45. Прямое произведение групп.
46. Необходимые и достаточные условия изоморфизма группы G и прямого произведения двух групп А и В.
47. Определение кольца и поля. Примеры.
48. Кольца главных идеалов. Примеры.
49. Отношение делимости в кольцах главных идеалов.
50. Гомоморфизмы и идеалы колец, поля частных.
Вопросы к экзамену (3 семестр)
1. Важнейшие числовые функции.
3. Позиционные и непозиционные системы счисления. Систематическая запись натурального числа.
4. Переход от одной системы счисления к другой. Два способа.
5. Цепные дроби. Подходящие дроби, их свойства.
6. Вывод рекуррентных формул расчета числителя и знаменателя подходящих дробей.
7. Вывод соотношения, связывающего числители и знаменатели двух соседних подходящих дробей.
8. Вывод неравенства, определяющего степень точности приближения иррационального числа подходящими дробями.
9. Числовые сравнения, их свойства.
10. Кольцо классов вычетов по данному модулю.
11. Полная и приведенная система вычетов, их свойства.
12. Функция Эйлера, её свойства, формула для вычисления.
13. Теорема Эйлера и Ферма, их применение к решению задач.
14. Сравнения с переменной величиной, теоремы о равносильности сравнений.
15. Сравнения первой степени с одной переменной. Случай, когда a и m взаимно просты.
16. Сравнения первой степени с одной переменной. Случай, когда НОД(a, m)=d и b делится на d.
17. Сравнения первой степени с одной переменной. Случай, когда НОД(a, m)=d и b не делится на d.
18. Диофантовы уравнения. Методы их решения.
19. Системы сравнений первой степени с одной переменной.
20. Сравнения высших степеней по простому модулю. Методы их решения.
21. Сравнение второй степени по простому модулю. Теорема о числе квадратных вычетов и невычетов.
22. Критерий Эйлера о квадратных вычетах.
23. Степенные вычеты. Порядок класса вычетов. Свойства показателей.
24. Теорема о числе классов вычетов, принадлежащих данному показателю.
25. Первообразные корни. Теорема о числе первообразных корней по простому модулю. Алгоритм их вычисления.
26. Индексы, их свойства.
27. Применение индексов к решению сравнений.
Критерии итоговой оценки по дисциплине (экзамен)
«Отлично», повышенный уровень: теоретическое содержание дисциплины освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные рабочей программой дисциплины учебные задания выполнены, качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному;
«Хорошо», пороговый уровень: теоретическое содержание дисциплины освоено полностью, без пробелов, некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно, все предусмотренные рабочей программой дисциплины учебные задания выполнены, качество выполнения ни одного из них не оценено минимальным числом баллов, некоторые виды заданий выполнены с ошибками;
«Удовлетворительно», пороговый уровень: теоретическое содержание дисциплины освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство предусмотренных рабочей программой дисциплины учебных заданий выполнено, некоторые из выполненных заданий, возможно, содержат ошибки;
«Неудовлетворительно», уровень не сформирован: теоретическое содержание дисциплины не освоено. Необходимые практические навыки работы не сформированы, все предусмотренные рабочей программой дисциплины учебные задания выполнены с грубыми ошибками. Дополнительная самостоятельная работа над материалом дисциплины не приведет к какому-либо значимому повышению качества выполнения учебных заданий.