(ФГБОУ ВО ГАГУ, ГАГУ, Горно-Алтайский государственный университет)
02.03.01 Математика и компьютерные науки
(<Курс>.<Семестр на курсе>)
Зав. кафедрой И.о. Богданова Р.А.
Зав. кафедрой И.о. Богданова Р.А.
исполнения в 2028-2029 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой И.о. Богданова Р.А.
исполнения в 2027-2028 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой И.о. Богданова Р.А.
исполнения в 2026-2027 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой И.о. Богданова Р.А.
исполнения в 2025-2026 учебном году на заседании кафедры
ции
ракт.
Линейная зависимость векторов. Базис и координаты вектора в базисе.
Скалярное произведение векторов.
Аффинная система координат. ПДСК. Деление отрезка в данном отношении.
Преобразование аффинного репера в аффинный репер. Полярные координаты.
/Лек/
Базис. Координаты вектора в базисе.
Скалярное произведение векторов.
Аффинный репер. Прямоугольная декартова система координат. Деление отрезка в данном отношении.
Преобразование аффинного репера в аффинный репер. Полярные координаты.
/Пр/
Уравнение прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.
Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
/Пр/
Общее уравнение кривой второго порядка и упрощение его с помощью поворота. Упрощение кривой с помощью параллельного переноса. Классификация кривых второго порядка. Центр кривой второго порядка.
Пересечение кривой второго порядка с прямой. Диаметры и оси кривой второго порядка.
/Лек/
Каноническое уравнение гиперболы и параболы.
Общее уравнение кривой и упрощение его с помощью параллельного переноса или поворота системы координат.
Контрольная работа.
Центр и диаметры кривой.
Асимптоты и касательные кривой.
/Пр/
Аффинные преобразования плоскости. Классификация преобразований.
/Лек/
Аналитическое задание движения. Инвариантные точки и инвариантные прямые движения.
Аналитическое задание подобия.
Инвариантные точки преобразования.
/Пр/
/Лек/
Смешанное произведение векторов и его свойства
/Пр/
Вопросы к экзамену
Контрольная работ 5. Приложение 1
Взаимное расположение двух и трех плоскостей в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве
/Лек/
Взаимное расположение плоскостей. Угол и расстояние между плоскостями
Уравнение прямой.
Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Метрические задачи на сочетание прямых и плоскостей.
Контрольная работа.
/Пр/
Коническая поверхность. Эллипсоид.
Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
/Лек/
Гиперболоиды.
Параболоиды.
Приведение уравнения поверхности к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат.
Поверхности второго порядка.
/Пр/
Вопросы к экзамену
Контрольная работа 7. Приложение 1
Аффинное n-мерное точечно-векторное пространство
Евклидово n- мерное точечно-векторное пространство.
Квадратичная форма и приведение ее к каноническому виду.
Квадрика и приведение ее к каноническому виду.
/Лек/
Уравнение к-мерной плоскости.
Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадрика на плоскости. Приведение квадрики к каноническому виду.
Квадрика в трехмерном пространстве и приведение ее уравнения к каноническому виду.
/Пр/
2. Фонд оценочных средств включает примерные индивидуальные задания для проведения входного контроля, текущего контроля 1 и 2, контрольные работы, а также примерный перечень вопросов для проведения промежуточной аттестации в форме зачета, экзамена.
1 семестр
Задание № 1. Дан параллелограмм АВСЕ, О – точка пересече-ния его диагоналей; К, М, Р, Н – середины сторон АВ, ВС, СЕ и ЕА. Полагая, что КМ = е1, КН = е2 , выразить через е1 и е2 сле-дующие векторы:
В-1. РН, ВЕ, ВС, ЕК, ЕМ;В-2. РМ, АС, АВ, ВР, АР;В-3. ОЕ, СА, АЕ, КР, ВК;В-4. ЕО, АС, СМ, АВ, КС;В-5. НР, ОВ, МН, СВ, АР;В-6. АО, ВЕ, РВ, АЕ, ВН; В-7. МР, ЕО, РВ, МС, КЕ;В-8. ОА, ВЕ, ЕА, ВА, МЕ;
В-9. ОС, ВЕ, МС, РК, СК;В-10. ОЕ, СА, ВА, МА, НВ;В-11. СО, ОВ, НМ, ВР, РА;В-12. АО, ВЕ, РК, СР, ВР.
Задание № 2. В треугольнике АВС векторы АК, ВМ и СР на-правлены по медианам, О – точка пересечения медиан. Найти в базисе е1= АВ, е2= АО координаты векторов:
В-1. АК, ВС, ВМ, СР, ВМ – 2СР, 3ВС – АК + 4СР;В-2. АР, ВК, АС, РС, 2ВК + 3АР, АС – 3РС + 2ВК;В-3. ВР, СК, АМ, АК, ВР – 3СК, 4СК – АК – 2АМ; В-4. АВ, ОК, ВС, СР, 2АВ – 3ОК, ОК + 3ВС – 4СР;В-5. ОР, МС, РВ, РК, ОР – 2РВ, МС – 2РК + 2ОР;В-6. МК, МР, ВК, ОВ, 2МК – МР, МР – 3ОВ + 3ВК; В-7. ОА, КВ, МР, ОС, ОА – 2КВ, 2МР – КВ + 3ОСВ-8. ОВ, КС, РВ, ОМ, КС + РА, 2ОМ + 3ОВ – КС;В-9. ОМ, СМ, АК, ОК, 2ОМ + 3СМ, СМ – 3АК + 3ОК;В-10. ВО, РМ, СО, ВМ, ВО – 2РМ, РМ – 3СО + 4ВМ;В-11. МО, МА, КО, СА, МО + 3МА, КО + 3СА – 3МА;
В-12. КА, ВР, АС, ВС, ВР – КА, АС + 4ВС – 3ВР.
Задание № 3. В параллелепипеде АСВЕА1В1С1Е1 точки К, М, Р, Н являются серединами боковых ребер. Принимая за базис пространства векторы е1= АВ, е2= АЕ, е3= АК, вычислить ко-ординаты следующих троек векторов и показать, что они компланарны
В-1. ВР, А1Н, АЕ1;В-2. КР, АС1, СК;В-3. В1Е1, ВЕ1, НВ; В-4. ЕР, РН, А1В;В-5. В1Е, АС1, АВ1; В-6. А1С, ВЕ1, ВС;В-7. В1Е, А1С, СЕ;В-8. ВН, ВР, АР;В-9. ВЕ1, АС1, ВС1;В-10. КС, ВН, ВК;
В-11. АМ, СР, СН;В-12. НМ, АС, СЕ.
Задание № 4. В пространстве даны векторы: а (1; –2; 2), b (–3; 1; 4), с (2; –3; 1). Найти скалярные произведения:
В-1. ab, (а + 2b)с, (а – b)(b + 3с);В-2. bс, (2а – b)с, (2b –3с)(а + с);В-3. ас, (а + b)с, (3а – b)(b + 2с);В-4. 2ab, b(а – 2c), (а + b)(2a – b);В-5. 2bс, а(b – 3с), (2a+ b)(а – c);В-6. 2ас, (а – b)с, (3а – b)(b + 2с); В-7. ab, 2(а + с)b, (b – с)(2а + 3с);В-8. 4ас, (а + 2b)с, (а – b)(b + 2с);В-9. bс, с(2а – b), (2a – с)(b + с);В-10. ab, (2а + b)с, (а + b)(b + с);В-11. bс, (а – b)с, (b – 4с)(а + с);
В-12. 2ас, (а + b)с, (а + b)(b – 2с).
В следующих заданиях вместо параметра Р подставьте номер вашего варианта.
Задание № 5. На плоскости дан четырехугольник АВСЕ. До-казать, что его диагонали взаимно перпендикулярны, если из-вестны координаты векторов АВ(Р; 2Р–2), ВС(1–2Р; 3–Р), СЕ(3Р; 2Р– 4).
Задание № 6. Найти координаты точки пересечения медиан и длины сторон треугольника АВС, если даны координаты его
Задание № 7. Проверьте, является ли четырехугольник АВСЕ с вершинами А(Р–1; Р–1), В(Р–2; Р+4), С(Р–7; Р+5), Е(Р–6; Р) является ромбом?
Задание № 8. Построить в обобщенной полярной системе ко-ординат следующие точки и найти расстояния АВ, ВС, АС: А(2; 0), В(3; /6), С(1; –5/6), К(–2; 2/3).
Задание № 9. Составить уравнение множества точек, сумма квадратов расстояний которых до двух точек А(Р–4; 6–Р) и В(Р+2; –Р) равна 100.
Задание № 10. Написать уравнение окружности, концами диаметра которой являются точки А(Р–5; 5–Р), В(Р; 7–Р).
Задание № 11. Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2 –2Рх +(2Р–2)у + Р2 = 0.
Задание № 12. Дан параллелограмм АВСЕ, О – точка пересечения его диагоналей. Написать формулы преобразования ко-ординат при переходе от аффинного репера R = (А; е1; е2), где е1 = АВ, е2 = АЕ к реперу R = (О; е1; е2), где е1 = ОС, е2 = ОЕ.
Задание № 13. В прямоугольной декартовой системе коорди-нат задано уравнение окружности х2 + у2 –2Рх +(2Р–2)у + Р2 = 0.
Написать уравнение этой окружности в прямоугольной декар-товой системе, полученной из данной, поворотом на 600.
Задание № 14. Даны вершины треугольника АВС: А (Р; Р–6), В (3; Р–2), С (–2; Р–4). Написать: а) параметрические уравнения его сторон, б) канонические уравнения медиан, в) общие уравнения высот.
Задание № 15. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х – 2у – 2Р = 0, х – 2у + 2Р = 0 и уравнение одной диагонали 2х – у –2Р = 0. Найти координаты вершин прямоугольника и уравнение другой диагонали.
Задание № 16. Найти координаты точки М, симметричной точке М (Р + 3; Р + 1) относительно прямой х + у – Р = 0.
Задание № 17. Точка А (Р; 5 – Р) является вершиной квадрата, одна из его сторон лежит на прямой 4х + 3у + 4Р = 0. Вычислить площадь квадрата.
Задание № 18. Даны две противолежащие вершины квадрата А(Р; 7 – Р), С( –Р; 2Р – 10). Составить уравнения его сторон.
Задание № 19. В треугольнике АВС даны уравнения сторон (АВ): х – 3у –5Р = 0, (ВС): х –Р = 0, (АС): 3х – у + Р = 0. Написать уравнение биссектрисы угла А треугольника АВС.
Задание № 20. Дан эллипс Рх2 + 16у2 = 4Р. Найти его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить данный эллипс в системе координат.
Задание № 21. Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если его эксцентриситет равен /2, а расстояние между директрисами равно 2Р/ .
Задание № 22. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты имеют уравнения Рх + (Р + 2)у = 0, а рас-стояние между фокусами равно 2P+ 1.
Задание № 23. Дана парабола у2 = 2Рх. Найти координаты ее фокуса, написать уравнение директрисы.
Задание № 24. Составить уравнение параболы, если даны ко-ординаты ее фокуса F (6 – Р; 12 – Р) и уравнение директрисы d : Рх + у = 0.
Задание № 25. С помощью поворота прямоугольной декарто-вой системы координат привести даннoе уравнение кривой к каноническому виду. Написать формулы преобразования и изобразить кривую на чертеже: (2 – 3Р)х2 + 6Рху + (2 + 5Р)у2 +2 +6Р = 0.
Задание № 26. С помощью параллельного переноса системы координат привести к каноническому виду следующее уравне-ние кривой. Записать формулы преобразования и изобразить кривую на чертеже: (Р + 11)х2 + (Р – 7)у2 – (2Р +22)х + (4Р – 28)у +4Р – 28 = 0.
Задание № 27. Привести данное уравнение кривой к каноническому виду, Записать формулы преобразования и изобразить на чертеже: 9х2 – 6ху + у2 +6Рх – 2Ру + Р2 = 0.
Задание № 28. Составить формулы аффинного преобразова-ния, зная, что точки А(0; 0), В(1; 0), С(0; 1) переходят в точки А (Р; Р), В (2Р; 8 – Р), С (–Р; Р –6).
Задание № 29. Аффинное преобразование задано формулами:
Найти образы точки А (–Р; 2Р – 14) и прямой Рх – у + 2Р = 0, а также инвариантные точки преобразования.
Задание № 30. Найти координаты образа точки А (Р; 9 – Р) при гомотетии с центром С ( –Р; 2Р – 10) и коэффициентом k = 3.
Критерии оценки
Отметка «отлично», 84-100%, повышенный уровень. Обучающийся обнаружил всестороннее, систематическое и глубокое знание учебно-программного материала, умение свободно выполнять задания, предусмотренные программой, усвоил основную литературу и знаком с дополнительной литературой, рекомендованной программой дисциплины, усвоил взаимосвязь основных понятий дисциплины в их значении для приобретаемой профессии.
Отметка «хорошо», 66-83%, пороговый уровень. Обучающийся обнаружил полное знание учебно-программного материала, успешно выполнил предусмотренные программой задания, усвоил основную литературу, рекомендованную программой дисциплины, показал систематический характер знаний по дисциплине и способен к их самостоятельному пополнению и обновлению в ходе дальнейшей учебной работы и профессиональной деятельности.
Отметка «удовлетворительно», 50-65%, пороговый уровень. Обучающийся обнаружил знание основного учебно-программного материала в объеме, необходимом для дальнейшей учебы и предстоящей работы по профессии, справился с выполнением заданий, предусмотренных программой, знаком с основной литературой, рекомендованной программой дисциплины, допускает неточности, обладает необходимыми знаниями для их устранения под руководством.
Отметка «неудовлетворительно», менее 50%, уровень не сформирован. Студент не знает значительной части программного материала, допускает существенные ошибки, не умеет выделить главное и делать выводы.
Контрольные работы
1 семестр
1. Дан параллелограмм АВСЕ, О – точка пересечения его диагоналей; К, М, Р, Н – середины сторон АВ, ВС, СЕ и ЕА. Полагая, что КМ = е1, КН = е2 , выразить через е1 и е2 следующие векторы:
В-1. РН, ВЕ, ВС, ЕК, ЕМ; В-2. РМ, АС, АВ, ВР, АР;
В-3. ОЕ, СА, АЕ, КР, ВК; В-4. ЕО, АС, СМ, АВ, КС;
В-5. НР, ОВ, МН, СВ, АР; В-6. АО, ВЕ, РВ, АЕ, ВН;
В-7. МР, ЕО, РВ, МС, КЕ; В-8. ОА, ВЕ, ЕА, ВА, МЕ;
В-9. ОС, ВЕ, МС, РК, СК; В-10. ОЕ, СА, ВА, МА, НВ.
2. В треугольнике АВС векторы АК, ВМ и СР направлены по медианам, О – точка пересечения медиан. Найти в базисе е1 = АВ, е2 = АО координаты векторов:
В-1. АК, ВС, ВМ, СР, ВМ – 2СР, 3ВС – АК + 4СР;
В-2. АР, ВК, АС, РС, 2ВК + 3АР, АС – 3РС + 2ВК;
В-3. ВР, СК, АМ, АК, ВР – 3СК, 4СК – АК – 2АМ;
В-4. АВ, ОК, ВС, СР, 2АВ – 3ОК, ОК + 3ВС – 4СР;
В-5. ОР, МС, РВ, РК, ОР – 2РВ, МС – 2РК + 2ОР;
В-6. МК, МР, ВК, ОВ, 2МК – МР, МР – 3ОВ + 3ВК;
В-7. ОА, КВ, МР, ОС, ОА – 2КВ, 2МР – КВ + 3ОС
В-8. ОВ, КС, РВ, ОМ, КС + РА, 2ОМ + 3ОВ – КС;
В-9. ОМ, СМ, АК, ОК, 2ОМ + 3СМ, СМ – 3АК + 3ОК;
В-10. ВО, РМ, СО, ВМ, ВО – 2РМ, РМ – 3СО + 4ВМ.
1. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,0,1), С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.
2. В параллелепипеде АСВЕА1В1С1Е1 точки К, М, Р, Н являются серединами боковых ребер. Принимая за базис пространства векторы е1 = АВ, е2 = АЕ, е3 = АК, вычислить координаты следующих троек векторов и выяснить, являются ли они компланарными:
В-1. ВР, А1Н, АЕ1; В-2. КР, АС1, СК;
В-3. В1Е1, ВЕ1, НВ; В-4. ЕР, РН, А1В;
В-5. В1Е, АС1,АВ1; В-6. А1С, ВЕ1, ВС;
В-7. В1Е, А1С, СЕ; В-8. ВН, ВР, АР;
В-9. ВЕ1, АС1, ВС1; В-10. КС, ВН, ВК.
3. В пространстве даны векторы : а (1; –2; 2), b (-3; 1; 4), с (2; –3; 1). Найти скалярные произведения:
В-1. ab, (а –b)(b+3с); В-2. bс, (2b –3с)(а +с); В-3. ас, (3а –b)(b+2с); В-4. 2ab, (а +b)(2a–b); В-5. 2bс, (2a+b)(а–c); В-6.2ас, (3а–b)(b+2с); В-7. ab, (b–с)(2а +3с); В-8. 4ас, (а –b)(b+2с); В-9. bс, (2a –с)(b +с); В-10. ab, (а +b)(b+с).
Контрольная работа №2. Уравнение прямой на плоскости
1. На плоскости заданы три точки А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3).
1 вариант А (–2; 0), В (2; 4), С(4; 0)
2 вариант А (0; –3), В (12; 3), С(6; 9)
3 вариант А (6; 1), В (2; 7), С(–2; 5)
4 вариант А (–1; –1), В (4; 2), С(8; –2)
5 вариант А (1; 3), В (7; 2), С(–1; –2)
6 вариант А (–3; –1), В (1; 4), С(5; –2)
7 вариант А (2; 2), В (6; –4), С(2; –4)
8 вариант А (3; -1), В (–2; 1), С(2; 3)
9 вариант А (–2; –4), В (6; –1), С(4; 1)
10 вариант А (–1; 0), В (5; 2), С(1; 4)
Найдите:
1) уравнения и длины сторон треугольника АВС;
2) уравнение высоты треугольника, опущенной из точки С;
3) уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В;
4) уравнение прямой, содержащей биссектрису угла A;
уравнение прямой, проходящей через вершину В и параллельной прямой АС;
5) уравнение средней линии треугольника АВС, параллельной ВС;
6) внутренние углы треугольника АВС;
7) координаты центра тяжести треугольника АВС;
8) площадь треугольника АВС;
9) центр вписанной окружности;
10) центр описанной около треугольника АВС окружности.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (1; 2): а) параллельно прямой 2х + 5у + 1 = 0; б) перпендикулярно прямой х – у – 4 = 0; в) под углом 450 к прямой 2х + 3у + 4 = 0.
3.Составить уравнение окружности с центром S(1; 2) и касающейся прямой 2х – 3у – 1 = 0.
4.Указать пары параллельных, пересекающихся, перпендикулярных прямых: L1: 2х – у – 1 = 0, L2: 4х – 2у – 5 = 0, L3: х + 2у – 3 = 0, L4: 3х – 5у – 1 = 0.
В следующих заданиях вместо параметра Р подставьте номер вашего варианта.
5.На плоскости дан четырехугольник АВСЕ. Выяснить, являются ли его диагонали взаимно перпендикулярными, если известны координаты векторов АВ(Р; 2Р–2), ВС(1–2Р; 3–Р), СЕ(3Р; 2Р– 4).
6. Дан тетраэдр АВСЕ. Найти объем тетраэдра, площади граней АВС и АВЕ и угол между ними, длину высоты АН
Контрольная работа №3. Кривые второго порядка.
В следующих заданиях вместо параметра Р подставьте номер вашего варианта.
1. Дана кривая второго порядка. 1) Приведите кривую к каноническому виду и определите ее вид. 2) Вычислите координаты фокусов. 3) Напишите уравнения директрис. 4) Напишите уравнение касательной, проходящей через точку А(2; –3). 5) Определите, имеет ли кривая центр. 6) Найдите векторы асимптотического направления для данной кривой. 7) Выполните чертеж.
1 вариант 9 х2 + 13 у2 + 18ху + 18х + 22у - 11 = 0
2 вариант 7 х2 - 32 у2 + 20ху + 30х + 12у + 63 = 0
3 вариант 25 х2 + 40 у2 - 52ху + 66х - 60у + 9 = 0
4 вариант 13 х2 + 18 у2 + 42ху + 36х + 36у = 0
5 вариант 5 х2 - 27 у2 - 6ху - 16х - 48у - 36 = 0
6 вариант 40 х2 + 25 у2 + 52ху + 88х + 68у +16 = 0
7 вариант 8 х2 + 17 у2 + 20ху + 24х + 36у + 16 = 0
8 вариант х2 + 9 у2 + 6ху - 6х - 6у - 12 = 0
9 вариант 3 х2 + 35 у2 + 22ху - 4х - 4у = 0
10 вариант 17 х2 + 8у2 - 20ху + 50х - 28у + 33 = 0
2. Дан эллипс Рх2 + 16у2 = 4Р. Найти его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить данный эллипс в системе координат.
3. Составить уравнение параболы, если даны ко-ординаты ее фокуса F (6 – Р; 12 – Р) и уравнение директрисы d : Рх + у = 0.
4. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1; 2)., асимптотами которой служат прямые
5. Написать уравнение линии второго порядка, центр которой находится в точке К (1; 2) а одной из директрис служит прямая х = 2, зная, что линия проходит через точку М(5; 6).
6. Не приводя к каноническому виду найти: 1) центр линии; 2) асимптотические направления; 3) написать уравнение касательной к кривой, проходящей через выбранную точку; 4) диаметр, проходящий через начало координат; 5) диаметр, сопряженный вектору ; 6) уравнения главных диаметров.
Контрольная работа №4. Преобразования плоскости.
1. Построить образ АВС: А (–1; 2); В (3; 4); С (5; 0):
а) при повороте на угол 900 вокруг начала координат;
б) при переносе на вектор (0;-2);
в) центральной симметрии относительно точки S (1;–1);
г) осевой симметрии относительно прямой l: х + у = 0;
д) гомотетии с центром S (1; –1) и k = –1/2
2.Определить вид преобразования:
а) б) в) г)
3. Найти уравнение оси симметрии, при которой точка М (1;–2) переходит в точку М (3; 4).
4. Найти центр симметрии, при которой точка М (–3; 4) переходит в точку М (1; 2).
5. Написать формулы центральной симметрии относительно точки S (2; –1).
6. Написать формулы параллельного переноса с вектором .
7. Написать формулы параллельного переноса, при котором точка М (–1; 2) переходит в точку М (3; 4)
8. Написать формулы осевой симметрии с осью l: 2х + 3 = 0
9. Написать формулы поворота с центром S (1;3) на угол 600.
10. Даны окружности 1: (х – 1)2 + (у – 1)2 = 1 и 2: (х + 2)2 + (у – 4)2 = 9; АВС и : А (2;1), В (3; –2), С (1; 0), . Найти центр и коэффициент гомотетии, при которой: а) 12; б) 21;
в) АВС г) АВС
2 семестр
Контрольная работа №5.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
1. Даны векторы : а (1; –2; 4), b (–3; 4; 0), с (2; –3; 5). Найти векторные произведения: [ab], [bс], [ас], [b, 3с], [2а +b, с].
2. Найдите смешанное произведение векторов u =(1, 3, –1), v = (–2, 0, 3) и w = (4, 1, 0) и определите, правой или левой является эта тройка векторов.
3. Даны вершины тетраэдра А(2; –1; 1); В(5; 5; 4); С(3; 2; –1); D(4; 1; 3). Найти объем тетраэдра и площадь грани АВС.
4. Вычислите площадь треугольника АВС и длину высоты AH, если А(2; 1; 0), В(–3; –6; 4), С(–2; 4; 1).
5. В треугольной призме ABCA'B'C' векторы AB(0; 1; –1) и AC(2; –1; 4) определяют основание, а вектор АА'(–3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Найти а) объем призмы; б) площади граней; в) высоту; г) угол между ребрами B'C' и AA'.
Контрольная работа №6. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямых и плоскостей.
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку С, делящую отрезок АВ в отношении = – , перпендикулярно к прямой k : , где А (–1; 2; 4), В (15; 12; –6).
2. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку О1О2 и проходящей через его середину, где О1 и О2 – центры сфер Ф1 и Ф2.
3. Как расположены прямые
k: и m: в пространстве Е3?
4. Найти координаты любой точки, лежащей на проекции прямой k: на плоскость : х + у + z +1 = 0.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей : 4х + у + 3z + 4 = 0 и : 2х –5=0 и точку М (1; 4; 1).
6. Через точку пересечения плоскости : 2х – 3у + z – 1 = 0 и оси (0У) провести прямую, параллельную прямой k : .
7. Найдите расстояние от точки A(2; –4; 5) до плоскости, проходящей через точки B(–; –3; 4), C(5; 5; –1), D(1; –2; 2).
С целью контроля знаний студентов по теме «Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей» можно провести контрольную работу по вариантам.
Вариант 1
1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(1; 0;, 3), В(0; 2; 5), С(–1; 3; 2), D(5; 0; 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АВ, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку С параллельно грани АВD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВD, е) вычислить длину высоты DН.
2. Найти расстояние от точки М(2; –1; 3) до прямой
3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей перпендикулярно плоскости
4. Даны вершины треугольника А(–6; 3), В(8; 10), С(2; –6) и прямая Определить, какие стороны треугольника пересекаются данной прямой.
Вариант 2
1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(4; 2; 0), В(1; –1; 3), С(0; 2; 1), D(–1; –1; 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АС, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно грани ВСD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВС, е) вычислить длину высоты DН.
2. Определите взаимное расположение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей и плоскости
3. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной плоскости
4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и параллельно прямой
Вариант 3
1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(1; 0; –4), В(0; 2; 3), С(–1; 1; 5), D(1; 0; 6). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АВ, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку С параллельно грани АВD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВD, е) вычислить длину высоты DН.
2. Найти расстояние от точки М(2; 1; –1) до прямой
3. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые
4. Даны уравнения двух сторон прямоугольника и одна из его вершин А(–2, 1). Найти площадь прямоугольника.
Вариант 4
1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(1; 1; 3), В(5; 2; 0), С(–1; 0; 1), D(–1; 3; 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АD, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку В параллельно грани АСD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и АС, е) вычислить длину высоты DН.
2. Найти проекцию точки А(3; 2; –1) на плоскость
3. Определить взаимное расположение прямых .
4. Через точку М(1; 2) провести прямую так, чтобы она прошла на равных расстояниях от точек А(3; 3) и В(5; 2).
Контрольная работа №7. Поверхности второго порядка.
1. Назвать поверхность и изобразить ее:
а) х2 + z2 = 2у; б) – у2 + х2 = 2z; в) 4х2 + у2 + 8z2 – 16 = 0; г) +1.
2. Исследовать уравнение поверхности второго порядка методом сечений, определить вид поверхности и схематически изобразить в прямоугольной декартовой системе координат. Сделать чертеж.
1 вариант 144 х2 + 64 у2 + 36 z2 – 567 = 0
2 вариант 16 х2 + 4 у2 – z2 + 16 = 0
3 вариант 16 х2 – 4 у2 + 8 z2 = 64
4 вариант 5 х2 + у2 + 25 z2 – 25 = 0
5 вариант х2 + у2 – 4z2 + 4 = 0
6 вариант 9 у2 – z2 + 4 х2 + 36 = 0
7 вариант х2 + 4 у2 – 4 z2 + 16 = 0
8 вариант х2 + 4 у2 – 16 z = 0
9 вариант 2 х2 – z = 0
10 вариант – х2 = 32 у – 4 z2
Критерии оценки контрольной работы
Оценка «отлично» выставляется, если студент имеет глубокие знания учебного материала по теме контрольной работы, показывает усвоение взаимосвязи основных понятий используемых в работе, смог ответить на все уточняющие и дополнительные вопросы. Студент демонстрирует знания теоретического и практического материала по теме практической работы, определяет взаимосвязи между показателями задачи, даёт правильный алгоритм решения, определяет
Оценка «хорошо» выставляется, если студент показал знание учебного материала, усвоил основную литературу, смог ответить почти полно на все заданные дополнительные и уточняющие вопросы. Студент демонстрирует знания теоретического и практического материала по теме контрольной работы, допуская незначительные неточности при решении задач, имея неполное понимание междисциплинарных связей при правильном выборе алгоритма решения задания.
Оценка «удовлетворительно» выставляется, если студент в целом освоил материал контрольной работы, ответил не на все уточняющие и дополнительные вопросы. Студент затрудняется с правильной оценкой предложенной задачи, даёт неполный ответ, требующий наводящих вопросов преподавателя, выбор алгоритма решения задачи возможен при наводящих вопросах преподавателя.
Оценка «неудовлетворительно» выставляетсястуденту, если он имеет существенные пробелы в знаниях основного учебного материала контрольной работы, который полностью не раскрыл содержание вопросов, не смог ответить на уточняющие и дополнительные вопросы. Студент даёт неверную оценку ситуации, неправильно выбирает алгоритм действий.
1 семестр
Вопросы к зачету
1. Определение вектора.
2. Операции над векторами (сложение и вычитание). Свойства.
3. Умножение вектора на число. Свойства.
4. Линейная зависимость векторов. Свойства.
5. Коллинеарные и компланарные вектора. Условия коллинеарности и компланарности векторов.
6. Базис. Координаты вектра в базисе.
7. Теорема о линейной комбинации векторов.
8. Скалярное произведение векторов и его свойства.
9. Вычисление скалярного произведения векторов. Длина вектора, угол между векторами.
10. Деление отрезка в данном отношении.
11. Преобразование аффинного репера в аффинный репер.
12. Полярная система координат. Связь полярной и декартовой систем координат.
13. Уравнение прямой (все виды).
14. Угол между прямыми (косинус, тангенс). Расположение прямой относительно системы координат.
15. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
16. Расстояние от точки до прямой.
17. Определение и геометрические свойства эллипса.
18. Вывод уравнения эллипса.
19. Определение и геометрические свойства гиперболы.
20. Вывод уравнения гиперболы.
21. Определение, вывод уравнения и геометрические свойства параболы.
22. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы (без вывода).
23. Директориальное свойство эллипса (с выводом).
24. Общее уравнение кривой второго порядка. Нахождение угла поворота при упрощении уравнения.
25. Девять типов кривой второго порядка.
26. Определение диаметра. Уравнение диаметра.
27. Центр кривой второго порядка.
28. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
29. Определение сопряженных диаметров. Условие сопряженности.
30. Вывод уравнения касательной.
31. Асимптота. Уравнение асимптоты.
32. Преобразование плоскости. Группа преобразований.
33. Движения I и II рода. Виды движений. Матрица движения. Свойства движения.
34. Осевая симметрия. Свойства. Аналитическое задание.
35. Группа преобразований подобия и ее подгруппы. Аналитическое задание.
36. Гомотетия и ее свойства. Связь гомотетии и подобия. Аналитическое задание.
37. Группа аффинных преобразований плоскости. Свойства, аналитическое задание.
38. Поворот и его свойства. Аналитическое задание поворота.
39. Параллельный перенос и его свойства. Аналитическое задание. Доказать, что множество переносов образуют группу.
40. Классификация всех преобразований.
Критерии оценки зачета
Зачтено, 50-100%. Обучающийся обнаружил знание основного учебно-программного материала в объеме, необходимом
Не зачтено, менее 50%, уровень не сформирован. Студент не знает значительной части программного материала, допускает существенные ошибки, не справился с выполнением, заданий не умеет выделить главное и делать выводы.
2 семестр. Вопросы к экзамену
41. Координаты векторов и точек в пространстве. Аффинная система и ПДСК.
42. Смешанное произведение векторов. Определение и свойства.
43. Векторное произведение векторов. Определение, свойства, геометрический смысл.
44. Нахождение координат вектора векторного произведения.
45. Геометрический смысл смешанного произведения.
46. Основные виды уравнений плоскости.
47. Преобразование аффинных реперов в А3.
48. Исследование общего уравнения плоскости. Расположение плоскости относительно системы координат.
49. Расстояние от точки до плоскости.
50. Угол между плоскостями.
51. Уравнение прямой в пространстве.
52. Взаимное расположение прямых в пространстве.
53. Взаимное расположение 2-х плоскостей в пространстве.
54. Цилиндрическая поверхность. Определение, вывод уравне-ния.
55. Коническая поверхность. Определение, вывод уравнения.
56. Поверхность вращения. Определение, вывод уравнения.
57. Эллиптический параболоид.
58. Эллипсоид.
59. Двухполостный гиперболоид.
60. Однополостный гиперболоид.
61. Векторное n-мерное пространство Vn. Аксиомы, следствия.
62. Определение k-мерной плоскости и способы ее задания.
63. Определение и аксиомы пространства Аn. Основные поня-тия и следствия.
64. Евклидово векторное n-мерное пространство Еn.
65. Евклидово n-мерное точечно-векторное пространство . Аксиомы, следствия.
66. Гиперболический параболоид.
67. Билинейная форма. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
68. Определение квадрики. Квадрика в А2 и А3. Центр квадри-ки.
69. Канонические уравнения 17 видов квадрик.
70. Теорема о приведении общего уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду.
Критерии оценки экзамена
Отметка «отлично», 84-100%, повышенный уровень. Обучающийся обнаружил всестороннее, систематическое и глубокое знание учебно-программного материала, умение свободно выполнять задания, предусмотренные программой, усвоил основную литературу и знаком с дополнительной литературой, рекомендованной программой дисциплины, усвоил взаимосвязь основных понятий дисциплины в их значении для приобретаемой профессии.
Отметка «хорошо», 66-83%, пороговый уровень. Обучающийся обнаружил полное знание учебно-программного материала, успешно выполнил предусмотренные программой задания, усвоил основную литературу, рекомендованную программой дисциплины, показал систематический характер знаний по дисциплине и способен к их самостоятельному пополнению и обновлению в ходе дальнейшей учебной работы и профессиональной деятельности.
Отметка «удовлетворительно», 50-65%, пороговый уровень. Обучающийся обнаружил знание основного учебно-программного материала в объеме, необходимом для дальнейшей учебы и предстоящей работы по профессии, справился с выполнением заданий, предусмотренных программой, знаком с основной литературой, рекомендованной программой дисциплины, допускает неточности, обладает необходимыми знаниями для их устранения под руководством.
Отметка «неудовлетворительно», менее 50%, уровень не сформирован. Студент не знает значительной части программного материала, допускает существенные ошибки, не умеет выделить главное и делать выводы.
Лекции, с одной стороны – это одна из основных форм учебных занятий в высших учебных заведениях, представляющая собой систематическое, последовательное устное изложение преподавателем определенного раздела конкретной науки или учебной дисциплины, с другой – это особая форма самостоятельной работы с учебным материалом. Лекция не заменяет собой книгу, она только подталкивает к ней, раскрывая тему, проблему, выделяя главное, существенное, на что следует обратить внимание, указывает пути, которым нужно следовать, добиваясь глубокого понимания поставленной проблемы, а не общей картины.
Работа на лекции – это сложный процесс, который включает в себя такие элементы как слушание, осмысление и собственно конспектирование. Для того, чтобы лекция выполнила свое назначение, важно подготовиться к ней и ее записи еще до прихода преподавателя в аудиторию. Без этого дальнейшее восприятие лекции становится сложным. Лекция в университете рассчитана на подготовленную аудиторию. Преподаватель излагает любой вопрос, ориентируясь на те знания, которые должны быть у студентов, усвоивших материал всех предыдущих лекций.Важно научиться слушать преподавателя во время лекции, поддерживать непрерывное внимание к выступающему.
Однако, одного слушания недостаточно. Необходимо фиксировать, записывать тот поток информации, который сообщается во время лекции – научиться вести конспект лекции, где формулировались бы наиболее важные моменты, основные положения, излагаемые лектором. Для ведения конспекта лекции следует использовать тетрадь. Ведение конспекта на листочках не рекомендуется, поскольку они не так удобны в использовании и часто теряются. При оформлении конспекта лекции необходимо оставлять поля, где студент может записать свои собственные мысли, возникающие параллельно с мыслями, высказанными лектором, а также вопросы, которые могут возникнуть в процессе слушания, чтобы получить на них ответы при самостоятельной проработке материала лекции, при изучении рекомендованной литературы или непосредственно у преподавателя в конце лекции. Составляя конспект лекции, следует оставлять значительный интервал между строчками. Это связано с тем, что иногда возникает необходимость вписать в первоначальный текст лекции одну или несколько строчек, имеющих принципиальное значение и почерпнутых из других источников. Расстояние между строками необходимо также для подчеркивания слов или целых групп слов (такое подчеркивание вызывается необходимостью привлечь внимание к данному месту в тексте при повторном чтении). Обычно подчеркивают определения, выводы.
Также важно полностью без всяких изменений вносить в тетрадь схемы, таблицы, чертежи и т.п., если они предполагаются в лекции. Для того, чтобы совместить механическую запись с почти дословным фиксированием наиболее важных положений, можно использовать системы условных сокращений. В первую очередь сокращаются длинные слова и те, что повторяются в речи лектора чаще всего. При этом само сокращение должно быть по возможности кратким.
Практические занятия Самостоятельная работа студентов по подготовке к практическому занятию должна начинаться с ознакомления с планом семинарского (практического) занятия, который включает в себя вопросы, выносимые на
Для более углубленного изучения вопросов рекомендуется конспектирование основной и дополнительной литературы. Читая рекомендованную литературу, не стоит пассивно принимать к сведению все написанное, следует анализировать текст, думать над ним, этому способствуют записи по ходу чтения, которые превращают чтение в процесс. Записи могут вестись в различной форме: развернутых и простых планов, выписок (тезисов), аннотаций и конспектов.
Подобрав, отработав материал и усвоив его, студент должен начать непосредственную подготовку своего выступления на практическом занятии для чего следует продумать, как ответить на каждый вопрос темы.
По каждому вопросу плана занятий необходимо подготовиться к устному сообщению (5-10 мин.), быть готовым принять участие в обсуждении и дополнении докладов и сообщений (до 5 мин.).
Выступление на практическом занятии должно удовлетворять следующим требованиям: в нем излагаются теоретические подходы к рассматриваемому вопросу, дается анализ принципов, законов, понятий и категорий; теоретические положения подкрепляются фактами, примерами, выступление должно быть аргументированным.
Самостоятельная работа обучающихся– это планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа, выполняемая во внеаудиторное время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия.
Объем самостоятельной работы определяется учебным планом основной профессиональной образовательнойпрограммы (ОПОП), рабочей программой дисциплины (модуля).
Самостоятельная работа организуется и проводится с целью формирования компетенций, понимаемых как способность применять знания, умения и личностные качества для успешной практической деятельности, в том числе:
- формирования умений по поиску и использованию нормативной, правовой, справочной и специальной литературы, а также других источников информации;
- качественного освоения и систематизации полученных теоретических знаний, их углубления и расширения по применению на уровне межпредметных связей;
- формирования умения применять полученные знания на практике (в профессиональной деятельности) и закрепления практических умений обучающихся;
- развития познавательных способностей, формирования самостоятельности мышления обучающихся;
- совершенствования речевых способностей обучающихся;
- формирования необходимого уровня мотивации обучающихся к систематической работе для получения знаний, умений и владений в период учебного семестра, активности обучающихся, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
- формирования способностей к саморазвитию (самопознанию, самоопределению, самообразованию, самосовершенствованию, самореализации и саморегуляции);
- развития научно-исследовательских навыков;
- развития навыков межличностных отношений.
К самостоятельной работе по дисциплине (модулю) относятся: проработка теоретического материала дисциплины (модуля);подготовка к семинарским и практическим занятиям, в т.ч. подготовка к текущему контролю успеваемости обучающихся(текущая аттестация); подготовка к лабораторным работам; подготовка к промежуточной аттестации (зачётам, экзаменам).
Виды, формы и объемы самостоятельной работы обучающихся при изучении дисциплины (модуля) определяются:
- содержанием компетенций, формируемых дисциплиной (модулем);
- спецификой дисциплины (модуля), применяемыми образовательными технологиями;
- трудоемкостью СР, предусмотренной учебным планом;
- уровнем высшего образования (бакалавриат, специалитет, магистратура, аспирантура), на котором реализуется ОПОП;
- степенью подготовленности обучающихся.