высшего образования «Горно-Алтайский государственный университет»
(ФГБОУ ВО ГАГУ, ГАГУ, Горно-Алтайский государственный университет)
01.06.01 МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
(<Курс>.<Семестр на курсе>)
Зав. кафедрой Раенко Елена Александровна
Зав. кафедрой Раенко Елена Александровна
исполнения в 2023-2024 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Раенко Елена Александровна
исполнения в 2022-2023 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Раенко Елена Александровна
исполнения в 2021-2022 учебном году на заседании кафедры
Зав. кафедрой Раенко Елена Александровна
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры
- подготовка аспирантов для научной деятельности в области вещественного, комплексного и функционального анализа;
- сформировать у аспирантов представление о методах и способах решения
научных задач;
- подготовить аспирантов к применению полученных знаний при осуществлении конкретных математических исследований.
ции
ракт.
Дробно-линейный автоморфизм круга,его свойства. Ангармоническое отношение четвёрки,его свойства. Птолемеева характеристика тетрады, её инвариантность при дробно-линейных преобразованиях, неравенство Птолемея и теорема Птолемея. Введение угловой метрики (углового расстояния) в дополнении к замкнутому множеству. Инвариантность углового расстояния при дробно-линейных отображениях. Угловая метрика в круге. Гиперболическая длина кусочно-гладкой дуги в круге, гиперболическая площадь открытого множества в круге. Инвариантность гиперболической длины и гиперболической площади при дробно-линейных автоморфизмах круга.
/Ср/
/Ср/
/Ср/
/Ср/
/Ср/
1. Лемма Арцела. Равностепенная непрерывность ограниченного семейства аналитических функций. Принцип компактности для семейств аналитических функций, равномерно ограниченных на компактах внутри области.
2. Принцип компактности для семейств однолистных функций с равномерно ограниченной нормировкой в одной точке области.
3. Дробно-линейный автоморфизм круга, его свойства. Ангармоническое отношение четвёрки, его свойства.
5. Введение угловой метрики (углового расстояния) в дополнении к замкнутому множеству. Инвариантность углового расстояния при дробно-линейных отображениях. Угловая метрика в круге.
6. Гиперболическая длина кусочно-гладкой дуги в круге, гиперболическая площадь открытого множества в круге. Инвариантность гиперболической длины и гиперболической площади при дробно-линейных автоморфизмах круга.
7. Классическая лемма Шварца. Формулировка и доказательство усиленной леммы Шварца.
8. Инвариантная форма леммы Шварца в терминах углового расстояния в круге.
9. Теорема Шварца-Пика (инвариантная форма леммы Шварца для гиперболического расстояния в круге).
10. Гиперболическая метрика для круга, его свойства. Теорема Голузина для n-листных функций в круге.
11. Понятие выпуклой функции по Хейману. Лемма Хеймана (Необходимое условие выпуклости однолистной функции). Критерий выпуклости однолистной функции в круге.
12. Кривизна, радиус кривизны и круг кривизны гладкой дуги. Теорема Каратеодори о кругах кривизны прообразов прямолинейных отрезков при конформном отображении круга.
13. Лемма о сходимости последовательности кругов в B к орикругу.
14. Лемма Жюлиа об образе орикруга для аналитической ограниченной функции в B.
15. Теорема площадей для однолистных функций во внешности единичного круга.
16. Теорема Бибербаха об оценке модуля второго коэффициента и экстремальное отображение.
17. Проблема коэффициентов (гипотеза Бибербаха) и история её решения.
18. Внутренняя теорема покрытия (теорема Кёбе о круге радиуса R=4).
19. Внешняя теорема покрытия для конформного отображения внешности единичного круга.
20. Теорема искажения для модуля производной и теорема вращения для однолистных нормированных функций в круге.
21. Теорема искажения для модуля нормированной однолистной функции в круге.
22. Общая теорема искажения для модуля производной конформного отображения произвольной области.
23. Общая теорема искажения для модуля однолистной функции в произвольной области.
В самостоятельную работу аспирантов включаются следующие виды работ: подготовка к практическому занятию, индивидуальная работа аспиранта.
Задания выдаются на практических занятиях и требуют систематического выполнения. Наличие выполненного домашнего задания отмечается на каждом практическом занятии.
Реферирование научных работ. Каждому аспиранту выдаются научные статьи по тематике курса, в том числе и на иностранном языке. Реферирование включает внимательное прочтение, частичное конспектирование каждой статьи, подробный разбор доказательств всех утверждений, примеров и контрпримеров и подготовку доклада по материалам статьи.
2. Основное содержание самостоятельной работы по предмету.
Самостоятельная работа по предмету составляет 98 учебных часов и состоит в основном из трех типов деятельности: подготовка к практическим занятиям, решение заданий и выполнение индивидуальной работы аспиранта.
О теме следующего практического занятия (кроме первого) преподаватель сообщает аспирантам в конце предыдущего практического занятия.
Подготовку к практическому занятию следует начать с составления плана самостоятельной работы по предмету, сразу после предыдущего практического занятия. В плане нужно отразить порядок подбора и изучения материалов, выполнения вспомогательных задач, решения домашнего задания и так далее.
Руководствуясь планом самостоятельной работы, аспиранту следует внимательно изучить лекционный материал, учебники, учебные пособия, научные статьи и другие материалы по теме следующего практического занятия.
Параллельно с изучением литературы аспиранту следует составить список вопросов, которые возникли в результате чтения учебных материалов. Вопросы нужно формулировать как можно более четко, желательно при этом приводить ссылки на источники, по материалам которых был сформулирован данный вопрос с указанием источника и номера страницы.
Составленный список вопросов рекомендуется обсудить с преподавателем.
Второй вид самостоятельной деятельности по предмету – решение домашних заданий. Домашнее задание выдается аспиранту на каждом практическом занятии.
Работу над выполнением домашнего задания следует начать сразу после разработки плана самостоятельной работы на
• внимательно прочитать формулировку задачи, определить, что дано в задаче, определить, какие утверждения необходимо доказать.
• повторить по учебной литературе определения и теоремы, с которыми данные определения связаны, уточнить формулировки утверждений, внимательно изучить задачи, решенные во время практического занятия, определить, как данные утверждения использовались при решении этих задач.
• записать план решения задания.
• подробно расписать каждый пункт плана, используя утверждения и решенные ранее задач.
• проверить доказательство, еще раз внимательно изучить формулировку, определить, где конкретно в доказательстве используются определения из формулировки задачи и корректно ли применяются на каждом шаге теоремы и утверждения. В случае обнаружения недочетов и ошибок необходимо восполнить доказательство или использовать другие методы.
В случае возникновения проблем с определенными моментами доказательства необходимо:
• четко сформулировать проблему: что дано, что надо доказать, какие методы решения применялись, какие результаты получены, почему данные методы не дают правильного решения.
• следует обратиться к преподавателю за консультацией.
Наконец, после выполнения полного решения задачи его необходимо записать в тетрадь, используя корректные определения, формулировки и обозначения.
Третий вид деятельности – самостоятельная работа аспиранта в виде индивидуальной работы. Вид индивидуальной работы, назначаемой аспиранту преподавателем, выдается в соответствии с темой научной работы аспиранта.
Выполненные индивидуальные задания аспиранты по мере готовности сдаю преподавателю, которые проверяет их, в случае необходимости возвращая на доработку, а после окончательного выполнения задания назначает дату защиты индивидуальных заданий.
По своим работам аспиранты должны подготовить короткий доклад, содержащий основные тезисы и промежуточные результаты работы. Для облегчения доклада аспирант может подготовить презентацию в формате PDF. После доклада аспирант отвечает на дополнительные вопросы, которые может задавать как преподаватель, так и другие аспиранты. Результаты выполнения индивидуальной работы формируются на основе доклада.
3. Критерии оценивания самостоятельной работы.
За индивидуальную работу аспиранта выставляется оценка «ЗАЧТЕНО», если:
- выполнены все задания, входящие в индивидуальную работу;
- аспирант знает и понимает решение всех заданий индивидуальной работы, может объяснить смысл использованных методов, дать определение основным понятиям, привести примеры;
- аспирант может провести защиту своей индивидуальной работы на доске или в тетради;
- аспирант может ответить на большинство дополнительных вопросов по теме индивидуальной работы.
За индивидуальную работу аспиранта выставляется оценка «НЕ ЗАЧТЕНО», если:
- задания, составляющие основную часть индивидуальной работы, не выполнены;
- аспирант не знает или не понимает решение заданий индивидуальной работы, не может объяснить смысл использованных методов, не знает основных понятий или примеров;
- аспирант не может защитить свою индивидуальную работу;
- аспирант не может ответить на дополнительные вопросы по теме работы.
4. Работа аспиранта на практическом занятии.
На каждом практическом занятии аспиранты обязаны иметь конспект лекций, тетрадь для практических занятий с выполненным индивидуальным заданием и список вопросов, которые возникли у аспиранта при подготовке задания.
В начале практического занятия проводится опрос (диктант), решающие задачу определения качества подготовки к практическому занятию. В опросе (диктанте) могут присутствовать определения, примеры к определениям, утверждения теорем, которые будут использоваться на практическом занятии.
После этого преподаватель, как правило, проверяет наличие выполненного индивидуального задания у всех аспирантов и назначает дату защиты индивидуальных заданий.
Затем происходит обсуждение списка вопросов, которые возникли у аспирантов и не были обсуждены на консультации, при этом преподаватель обязан ответить только на те вопросы, которые непосредственно относятся к теме практического занятия, остальные вопросы переносятся на консультацию.
Как правило, решение задач на практическом занятии может выполняться тремя способами: на доске, индивидуально и в группах.
На доске решение задачи демонстрирует, обычно, преподаватель или аспирант, получивший решение задачи раньше остальных. При данном подходе у аспиранта уже должен быть выполнен, как минимум, план решения задачи во избежание списывания решения с доски. Функция остальных аспирантов – следить за решением задания, задавать вопросы по решению и искать ошибки, допущенные при решении задачи.
Действия при индивидуальном решении задачи аналогичны методам решения домашнего задания с учетом того, что время на решение ограничено рамками практического занятия. При возникновении вопросов по решению, аспиранту следует обратиться к преподавателю, присутствующему в аудитории.
После индивидуального решения задачи, аспиранту могут быть предложены следующие виды деятельности:
1. Выполнить решения задания на доске.
2. Проверить решение задачи, выполненное другим аспирантом.
3. Проконсультировать по решению задачи другого аспиранта.
После решения всех запланированных задач преподаватель выдает тему следующего занятия, рекомендуемую литературу к нему и домашнее задание.
В оставшееся время происходит обсуждение решенных заданий, задаются вопросы, которые не были заданы во время решения задач, преподаватель обращает внимание аспирантов на методы решения и использованные при этом утверждения и теоремы.